В помощь студентам БНТУ - курсовые, рефераты, лабораторные !


Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Лекция 14. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

Двойной интеграл.

Площадь плоской области.

Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы при равен площади области интегрирования S, то есть

                                                                                                      (14.1)

  1. Объем цилиндроида.

 

 

Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллель-ными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и (7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области S:

                                                                                         (14.2)

  1. Площадь криволинейной поверхности.

 

Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением         z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 12), что площадь элемента поверхности ΔSi равна

                             ,

где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔSi в некоторой ее точке Составив интегральную сумму

                 

и устремив ее к пределу при , получим формулу для площади поверхности:

                                                                                    (14.3)

  1. Момент инерции плоской фигуры.

 

Вспомним определение момента инерции

а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);

б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:

                               .

Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.                                             

 

Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку Pi (ξi, ηi). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔSi выражение вида  ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму

                                                                                                 (14.4)

для функции f(x, y) = x² + y² по области D.

 

Определение 14.1. Предел интегральной суммы (14.4) при называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:

                                                    (14.5)

 

Определение 14.2. Интегралы

                                                                      (14.6)

называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.

 

Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся по формуле

                                                                            (14.7)

 

  1. Координаты центра масс плоской фигуры.

Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с масса-ми т1, т2,…, тп определяются по формулам

                                    .

Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной площадки ΔSi сосредоточена в какой-либо ее точке Pi (ξi, ηi). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами

                                              .

Переходя к пределу при , получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:

                                            .                                      (14.8)

В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид

                            .                             (14.9)

 

                                                      Тройной интеграл.

 

  1. Объем тела.

Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

                                                                                            (14.10)

  1. Масса тела.

Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

                                                                            (14.11)

  1. Момент инерции тела.

Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:

                    

и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:

                

               

                                                     (14.12)

                

где γ (х, y, z) – плотность вещества.

  1. Координаты центра масс тела.

Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:

                   

                                                                               (14.13)

                   

 

                                    Криволинейный интеграл 1-го рода.

 

  1. Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

                                                                                             (14.14)

  1. Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

                                                                                         (14.15)

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области:                         -                                                    (14.16)

  • статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

                                     -                                             (14.17)

  • момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

        -                       (14.18)

  • моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

     .                    (14.19)    

           

                   Криволинейный интеграл 2-го рода.

 

Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

                               ,                                         (14.20)

то есть криволинейным интегралом 2-го рода (см. лекцию 10).

 

           Поверхностный интеграл 1-го рода.

 

  1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде:

                                                                    (14.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

  1. Масса поверхности

                                                                                          (14.22)

  1. Моменты:

                -                    (14.23)

  • статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

       -   (14.24)

  • моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

             -                     (14.25)

  • моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

                     -                                          (14.26)

  • момент инерции поверхности относительно начала координат.
  1. Координаты центра масс поверхности:

                              .                                      (14.27)

 

Поверхностный интеграл 2-го рода.

Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбран-ную сторону поверхности интегрирования (см. лекцию 13).

Замечание 1. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех- рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криво-линейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции без подробного вывода.

Замечание 2. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.

  Русский мех - фиксированные цены - меховой салон.

@reg

@support17

Сейчас 76 гостей онлайн

@(c)

Copyright © 2009-2011 Support17.com
Любое использование материалов, опубликованных на support17,
разрешается только в случае указания гиперссылки на Support17.com

@s

Родоначальницей всех приборостроительных специальностей явилась кафедра «Приборы точной механики», которая была открыта в 1961 г. на машиностроительном факультете.
В 1976 г. был организован оптико-механический факультет.