В помощь студентам БНТУ - курсовые, рефераты, лабораторные !


Двойной и тройной интегралы, их свойства

Лекция 7. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим в плоскости Оху  замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей (причем теми же символами  будем обозначать и площади соответствующих частей) и выберем в каждой части точку Рi (рис.1).       

Пусть в области D задана функция  z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида  f(Pi)ΔSi :                           .                                                    (7.1)

Определение 7.1. Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Замечание. С геометрической точки зрения (при ) интегральная сумма (7.1) представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔSi и высотами f(Pi).

 

Определение 7.2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (7.1) при и , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается                       .                        (7.2)

Область D при этом называется областью интегрирования.

 

Замечание 1. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x, y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие

                                                                                                  (7.3)

где τ – некоторое разбиение, а Sτ и sτ – соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы. Доказательство этого утверждения проводится так же, как для случая определенного интеграла.

Замечание 2. Аналогично одномерному случаю можно доказать еще одно утвержде-ние: если функция  f(x, y) непрерывна на D, то она интегрируема по этой области.

 

Свойства двойных интегралов.

 

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем                                                             (7.4)

  1. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

                                 (7.5)

3. Если для интегрируемых в области D функций    f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство    f(x, y) ≤ g(x, y) , то

                                                                              (7.6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:

4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

                                                       (7.7)      Доказательство.                                                                                                              Интегральную сумму по области D можно представить в виде:                                             

где разбиение области D проведено так, что граница между D1 и D2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (7.7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

                                                                               (7.8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (7.8)

6. где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

                              m ≤ f(x, y) ≤ M,

то                                                                        (7.9)

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

                    

Следствие.

Если разделить все части неравенства (7.9) на D, можно получить так называемую теорему о среднем:

                   

В частности, при условии непрерывности функции  f в D найдется такая точка этой области (х0 , у0), в которой  f(х0 , у0) = μ, то есть

                      -

  • еще одна формулировка теоремы о среднем.

 

       Тройной интеграл.

 

Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида         ,                                                                (7.10)

где точка Pi принадлежит Δvi . Пусть ρ – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области V.

 

Определение 7.3. Предел при интегральных сумм (7.10), не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:                                                                         (7.11)

Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязатель-ным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего курса.

Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно распространить на  тройной интеграл.

Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п-мерного пространства.

 

Геометрический смысл двойного интеграла.

 

Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхно-стью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверх-ности с их проекциями.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔSi области D, а высотами – отрезки длиной f(Pi), где точки Pi принадлежат ΔSi. Переходя к пределу при , получим, что

                                                                                                   (7.12)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.

 

@reg

@support17

Сейчас 86 гостей онлайн

@(c)

Copyright © 2009-2011 Support17.com
Любое использование материалов, опубликованных на support17,
разрешается только в случае указания гиперссылки на Support17.com

@s

Родоначальницей всех приборостроительных специальностей явилась кафедра «Приборы точной механики», которая была открыта в 1961 г. на машиностроительном факультете.
В 1976 г. был организован оптико-механический факультет.