В помощь студентам БНТУ - курсовые, рефераты, лабораторные !


Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N1 и N2 (рис.1). Назовем такую область правильной в на-

                    у                                                             правлении оси Оу. Аналогично определя-

                                         y=φ2(x)                             ется область, правильная в направлении         

                                                        N2                      оси Ох. Область, правильную в направле-                                               

                                                                                 нии обеих координатных осей, будем на-

                                           D                                     зывать просто правильной. Например,    

                                                                                  правильная область изображена на рис.1.  

 

 

Пусть функция  f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

                                       ,                                                   (8.1)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

                                   

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 8.1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2:                                

                                         .                                                             (8.2)

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D1 и D2 , правильные в направлении Оу. Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D1 и D2 (рис.2). Обозначим через M1 (a1, h) и M2 (b1, h) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D.

  

     y                                                          Область D1 ограничена непрерывными линиями

                         y=φ2(x)                            1) y = φ1(x);   

                      D2                                        2) кривой А1М1М2В, уравнение которой запишем

         h   M1                     M2                         y = φ1*(x), где φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и

          A1            D1             B                     b1 ≤ x ≤ b, φ1*(х) = h при а1 ≤ х ≤ b1;

                                                                  3) прямыми x = a, x = b.

                                                                  Область D2 ограничена линиями y = φ1*(x),

         A                                                      у = φ2(х), а1 ≤ х ≤ b1.

                      y=φ1(x)                                Применим к внутреннему интегралу теорему о  

                                                                   разбиении промежутка интегрирования:

       O a    a1                  b1 b      

                     Рис.2.

    

+         

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ .

Поскольку  φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

           ID =   , то есть   .

 

Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

 

Замечание 1. Используя теорему 8.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

                                                                   (8.3)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

                           ID = f(P)S,                                                                            (8.4)

где Р – точка, принадлежащая области D .

 

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

                 =                                             (8.5)             

Теорема 8.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

                  .                                            (8.6)

Доказательство.

Разобьем  область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn. Тогда по теореме 8.1

                   .  

Из (8.4) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число ID . Переходя к пределу при  , получим равенство (8.6).    

Пример.  

Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).       

 

               у                                                Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.

                                                                Тогда  

               1  D                                          

               O             1                       x             

 

               Рис.3.

 

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

 

Правильной областью в полярных координатах (определение полярных координат см. в лекции 14 за 2-й семестр) назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).

 

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 ,

непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем область D на части ΔSik , ограниченные лучами ρ = ρi-1 и ρ = ρi , выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φk-1 и φ = φk с центром в полюсе, и составим интегральную сумму , где Pik – точка, принадлежащая ΔSik . Найдем площадь части ΔSik , не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов:

, где . Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области, стремятся к нулю при и , получим:

(8.7)

 

   Пример.

Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса R с центром в начале координат:

                                                                                                                                    

 

@reg

@support17

Сейчас 166 гостей онлайн

@(c)

Copyright © 2009-2011 Support17.com
Любое использование материалов, опубликованных на support17,
разрешается только в случае указания гиперссылки на Support17.com

@s

Родоначальницей всех приборостроительных специальностей явилась кафедра «Приборы точной механики», которая была открыта в 1961 г. на машиностроительном факультете.
В 1976 г. был организован оптико-механический факультет.