В помощь студентам БНТУ - курсовые, рефераты, лабораторные !


Численное решение уравнения теплопроводности

Руководство к выполнению лабораторной работы

Численное решение уравнения теплопроводности 

 

Цель работы:  изучить конечно-разностные методы решения уравнения теплопроводности.

Используемое оборудование и средства: персональный компьютер, пакет Mathcad, Delphi.или MsExcell

1. Краткие теоретические сведения.

 

       Расcмотрим задачу нахождения непрерывной на замкнутом прямоугольнике функции u(x,t), удовлетворяющей уравнению теплопроводности

                     (1)                                      

а также начальному условию

                                                u(x,0)=(x)                                             (2) и краевым (граничным) условиям:

                                      u(0,t)=p(t), u(l,t)=s(t)                                            (3)

где f (x, t) (функция источнка),(x), p(t), s(t)- заданные, достаточное число раз дифференциируемой функции, удовлетворяющие равенствам (0)=P(0), (l)=s(0).

 

Задача (1-3) называется смешанной, т. к она содержит как начальное,  так  и краевые условия.

 

                       2.  Методы конечных разностей.

 

         Частные производные заменяются соответствующими разностями.  Разобьем отрезки [ 0,l] оси х и [0,T] оси t соответственно на N и равных частей и введем обозначение , и (риc.1). Через точки деления проведем прямые, параллельные соответствующим осям. В результате область разобъется на прямоугольники с вершинами  (x,t), где  , i=1,N+1; , j=1,N1+1 (рис.1). Множество вершин прямоугольника называют сеткой, а отдельные вершины –узлами сетки.  Узлы, имеющие одинаковый индекс j, образуют j-ый слой. Числа h и называют  шагами сетки по переменным х (пространственной)  и t (временной).

В каждом внутреннем узле сетки :

                              u  

 

             u= =

=

 

Аналогично

                             u’t       :

      В каждом узле сетки производные заменим разным отношением

                          ()      ,                   (4)

      а               где       

      Заменяя производные, входящие в ур. (1), разностным отношением, получим конечно- разностные уравнения:

                                        (5)

           (6)

        аппроксимирующие уравнение (1) в узле сетки () с погрешностью порядка о(h2+τ)

Для получения решения (5) была использована конфигурация узлов, изображенной на рис.2, а для уравнения (6) –конфигурация, изображеная на рис.3. Эти конфигурации узлов называют шаблонами.

Начальные и граничные условия определяют значения сеточной функции в граничных узлах: ui,1=i , j=1,N1+1,           (7)

u1,j = pj, u N+1.j=sj, j=1, N1+1          (8)


  аренда vps, virtual dedicated server

@reg

@support17

Сейчас 13 гостей онлайн

@(c)

Copyright © 2009-2011 Support17.com
Любое использование материалов, опубликованных на support17,
разрешается только в случае указания гиперссылки на Support17.com

@s

Родоначальницей всех приборостроительных специальностей явилась кафедра «Приборы точной механики», которая была открыта в 1961 г. на машиностроительном факультете.
В 1976 г. был организован оптико-механический факультет.